Ведомым называется колесо, к оси которого со стороны остова машины приложены толкающая сила Fn (рис. 19, см. форзац), действующая параллельно направлению скорости v движения, нормальная к ней сила Qn, равная сумме веса колеса и нагрузки со стороны остова машины, и момент трения Мг в подшипниках и обода о воздух. Под действием указанных сил и момента ведомое колесо вдавливается в почву, образуя след глубиной Лщах—Лупр. В почве под колесом возникают реакции почвы, равнодействующая /?0бщ которых приложена в некоторой точке А пятна контакта колеса с почвой.
Работа ведомого колеса — это работа сил сопротивления пе­рекатыванию колеса по почве или дороге. Определим силу сопротивления перекатыванию ведомого колеса и факторы, от которых она зависит, а также метод оценки этой силы.
Исследованиями установлено пять главных источников (причин) сопротивления качению колеса.
Гистерезисные потери состоят прежде всего из потерь на смятие почвы и деформирование ее в вертикальной плоскости на глубину следа. Эти потери связаны с остаточными, необратимыми и медленно восстанавливающимися деформациями почвы. К ним относятся также потери, связанные с так называемым «упругим несовершенством» почвы, т. е. с малой скоростью восстановления деформации при быстром уменьшении нормальных нагрузок на нее, и гистерезисные деформативные потери всех видов в материале шин при действии на них нормальных, тангенциальных, осевых и боковых реакций грунта.
Гестерезисные потери составляют основную, но не единственную часть сопротивления перекатыванию мобильных машин по деформируемым почвам и дорогам.
Потери из-за сжатия и разрушения микронеровностей и посторонних включений на трассе движения колеса представляют собой потери от накатывания на выступы, оставляемые почвозацепами предыдущих колес, а также на выступы и впадины, появившиеся на поверхности поля, дороги или основания в процессе их эксплуатации. /
Потери, связанные с проскальзыванием поверхностей колес по поверхности лочвы в некоторых или во всех областях пятна контакта, вызваны в основном разной жесткостью материалов колеса и дороги (почвы), что приводит к различным тангенциальным деформациям при действии одних и тех же касательных сил. В результате этого в пятне контакта возникают зоны скольжения, сцепления и покоя. Сюда относятся также потери, связанные с проскальзыванием из-за шероховатости поверхностей колеса и дороги (почвы) и из-за радиальной деформации пневмоколеса.
Потери из-за молекулярного и электростатического притяжения поверхностей почвы и колеса связаны с преодолением сил электрического притяжения этих поверхностей в задней части пятна контакта при непрерывно раскрывающемся стыке, а также с преодолением липкости, образованной слоем адсорбирующих веществ или оксидов, смазочных и других материалов, которые связывают («схватывают») контактирующие поверхности.
Гидродинамические потери представляют собой потери на отжатие воды из пор грунта, лобовое сопротивление свободной воды и на раздавливание толстых слоев под колесом, возникающие при движении машины по водонасыщенным почвам и по дорогам, покрытым водой.
Работа жесткого (идеального) колеса на горизонтальной деформируемой почве. Рассмотрим процесс возникновения силы сопротивления качению ведомого колеса из-за смятия почвы (гистерезисные потери в почве). Для этого используем известный диалектический прием: абстрагируемся от некоторых реальных особенностей колеса и почвы, которые пока будем считать несущественными.
Допустим, что колесо и почва идеальные, т. е. они характеризуются следующим: 1) колесо абсолютно жесткое и без поч-возацепов; 2) колесо катится по горизонтальной поверхности почвы равномерно и без скольжения; 3) на оси колеса момент трения в подшипниках равен нулю (Мг=0)\ 4) в почве под колесом образуются только остаточные деформации; 5) сопротивлением воздуха при качении колеса можно пренебречь.
С учетом принятых допущений составим условия равновесия колеса, на которое действуют нормальная нагрузка — Q„ (рис. 20, см. форзац) со стороны остова машины; толкающая сила остова — Fa и равнодействующая реакций почвы — R.
Известно, что если тело (колесо) находится в состоянии равномерного движения под действием трех сил, то направления действия этих сил пересекаются в одной точке. Так как силы Qn и Fa приложены к оси колеса, то и направление действия реакции R проходит через центр 0 колеса. Из этого следуют два важных вывода: 1) элементарные реакции р почвы направлены по радиусу жесткого колеса нормально к ободу колеса; 2) реакция R почвы приложена в точке А контакта колеса с почвой? на некотором расстоянии ап от вертикальной его оси.
Разложим равнодействующую R на нормальную У„ и горизонтальную Pj составляющие (рис. 20, а). Последнюю назовем силой сопротивления качению ведомого колеса, так как она действует против направления движения. Плечо действия силы Pj„ обозначим через гд (динамический радиус колеса). Тогда условия равновесия ведомого колеса будут такие: 2Х = 0; Fn = Pfn;
2Г = 0; Qn = Ya; Шу = 0; Ры = VWa=Qzfljr,=QJu>
где Y„anssPturAsaMfu—uoueHJ сопротивления качению ведомого колеса; U—Лп/гд « Pfa/Qu — коэффициент сопротивления качению ведомого колеса.
Проанализируем полученные выражения. Нормальная составляющая Уп реакции почвы равна нормальной нагрузке Qn на ось колеса, но приложена не по вертикали (по нормали) к оси колеса, а смещена по ходу движения на величину ап, называемую радиусом трения качения.
Для жесткого колеса а„ зависит не только от свойств и состояния почвы, но и от ширины b колеса: чем шире колесо, тем меньше а„, так как при этом уменьшается глубина следа hmax.
Коэффициент /п сопротивления качению прямо пропорционален плечу а„ и обратно пропорционален динамическому радиусу гд колеса. Следовательно, для уменьшения силы Pfn сопротивления качению ведомого колеса следует уменьшать нагрузку Qn, плечо ап и увеличивать радиус гл колеса.
Для оценки значений коэффициента /„ сопротивления качению ведомого колеса по почве в процессе опытов можно использовать выражение U~PfJQn, в котором силы Q„ и Pta=Fn замеряют динамографом.
Покажем, что сила Pfu сопротивления качению ведомого колеса пропорциональна площади петли гистерезиса деформации почвы. Для этого примем, что между давлением р, создаваемым колесом на почву, и деформацией h почвы существует линейная зависимость (при нагрузке) независимо от ширины колеса» т. е. p=kh.
Эпюра давлений р и необратимость деформации почвы показаны на рисунке 20, а, а вид петли гистерезиса — на рисунке 20, б. Площадь этой петли
FT = 0,5рт&^^ = QjAnaxA&Lon).
где ртах—2рСр—2QD/(&Lon) —наибольшее давление колеса на почву; рСр — среднее значение давления колеса на почву; Ь и Lon — ширина и длина пятна контакта колеса с почвой. 
Как следует из уравнения (23) работ ведомого/колеса на пути Lon, qnhmaxfL0tt = pfu. Под действием силы Fh = PfU на пути l0n колесо весом Q„ деформирует каждый элементарный слой почвы на глубину Атах, т. е. pfal0n = qnhmaxt откуда Р/п=
= qnhmax/ln = qnfn.
Тогда Ft—pjjb, или Pfu=Frb. Следовательно, сила pf сопротивления качению жесткого ведомого колеса пропорциональна площади петли гистерезиса деформации почвы.
Если под колесом почва восстанавливает свою деформацию хотя бы частично (см. рис. 19), то площадь Fr петли гистерезиса уменьшается (см. рис. 20,6). Снижается и сила Р/п сопротивления качению колеса вследствие уменьшения плеча ап реакции почвы. Таким образом, упругие, быстровосстанавливающиеся деформации почвы способствуют уменьшению силы Р/
Ранее принято допущение о том, что в контакте жесткого колеса с почвой отсутствует скольжение. В действительности же из-за необходимости преодоления момента трения Мг в подшипниках оси ведомого колеса и аэродинамического сопротивления, <а также из-за различия в жесткости материалов колеса и почвы в пятне контакта возникают трение скольжения почвы о колесо а силы трения, равнодействующая Frp которых направлена по касательной к ободу колеса (рис. 20, в). Поэтому можно предположить, что эта равнодействующая приложена к той же точке, что и реакция R смятия почвы.
Для оценки силы Я/ сопротивления качению жесткого ведомого колеса по деформируемой почве при неустановившемся движении с учетом момента Мг трения, силы FTp трения о почву в пятне контакта и гистерезисных потерь на деформацию почвы составим уравнение движения колеса в форме Лагранжа:
±{j!l\ ul-n
где t — кинетическая энергия ведомого колеса, движущегося со скоростью v по ровной поверхности поля,
Т = то*/2 + Ук®к*/2 = 0,5/лсйк* (гк* + Jjm);
m и /к — масса и момент инерции жесткого ведомого колеса; <?=ф — обобщенная координата; 1|> — угол поворота колеса; ~ Q06o6m — обобщенная сила, равная частному от деления суммы работ всех сил и моментов, действующих на колесо на возможном перемещении при повороте колеса на угол 6ip, на перемещение колеса, т. е.
Qofrtfiu = = [ynaJ>y + мм + р!иШгк- гд) - F„6t|>rK]/6il> =
= ytfln + mr — рыгд.
Подставив полученные для Т, q и Qoooom выражения в уравнение Лагранжа, получим
m(d*>Jdt) (r*+Jjm) =Ynaa+Mr-Pfard. 
Так как ускорение dcajdt может быть с разным знаком и
Юк^/Гк, то
Pf„ = Qaaa/rd+M,/rd ± т {r*+Jjm)lrfK (dv/dt). (22)
Обозначив сумму rK2l(rKrA)+JKl(mrKrA)tt \+1к/(тгк2) через 6вР, получим искомое уравнение движения ведомого колеса
Pf„ = Qrfljrd+Mrlrd ± m6bPdv/dt. (23)
В этом выражении первая составляющая силы сопротивления качению жесткого ведомого колеса Pfn=QnaJrA учитывает гистерезисные потери на необратимую деформацию почвы и трение колеса о почву (из-за разной жесткости материалов колеса и почвы), вторая составляющая МТ/гл отражает потери на трение в подшипниках оси колеса и обода колеса о воздух, а третья составляющая dt.b*pmdvldt учитывает инерционные силы в сопротивлении качению при разгоне или замедлении движения ведомого колеса.
Работа ведомого пневмоколеса на твердом основании. Аналогично предыдущему случаю примем, что Qn+/7nH-/?=0. Это означает, что реакция R дороги приложена в точке А (рис. 21, см. форзац), смещенной на какое-то расстояние ап от вертикальной оси колеса в сторону направления движения.
Для выяснения причин этого явления разложим реакцию R на равнодействующие составляющие нормальных У„ и горизонтальных реакций. Условия статического равновесия колеса (сумма проекций всех сил относительно осей X, У и момента сил относительно оси колеса) имеют вид
2Х = 0; Fn=Pf01;
2К = 0; Qa = Yu;
2М0 = 0; Ры = Ynaa/r3=Q^/r, = /ш(?п,
где fw—tinlrA — коэффициент сопротивления качению пневмошины по твердому основанию.
Из эпюры давлений, изображенной на рисунке 21, а, видно, что в передней набегающей части колеса значения давления р больше, чем в задней сбегающей части. Соответствующая петля гистерезиса, характеризующая отставание нормальных давлений в сбегающей части колеса от деформаций Аш шины, показана на рисунке 21,6. Из анализа петли упругого гистерезиса пневмошины следует, что одной и той же деформации, например Хш1 = =лш2, в набегающей и сбегающей частях колеса соответствуют разные давления р\ и рг шины на дорогу.
Если бы шина обладала идеальной эластичностью, то энергия, затраченная на деформацию в одной части ее окружности, полностью возвращалась бы колесу при восстановлении формы шины в другой части окружности. Элементы шины, восстанавливая свою форму, оказывали бы за счет накопленной энергии давление на дорогу и создавали бы момент, способствующий качению колеса.
Однако в действительности из-за трения внутри шины и в площади контакта с дорогой часть энергии, затраченной на деформацию шины, обратно не возвращается и переходит в тепло, которое рассеивается в окружающем пространстве. Вследствие этого в передней половине площади контакта шины с дорогой нормальные реакции больше, чем в задней. Отсюда следует, что при качении эластичной шины по недеформирующейся поверхности равнодействующая УЛ нормальных реакций сдвигается вперед от вертикали, проходящей через ось колеса, аналогич-«о тому, как это было установлено выше в отношении жесткого колеса, катящегося по деформирующейся почве.
Чем больше потери в шине, тем больше величина а„ смещения реакции Уп и момент сопротивления качению Mfm— Y„aa = = Qaa„. Вращающий момент, необходимый для преодоления сопротивления качению, создается парой сил: толкающей силой Я„ и горизонтальной реакцией Р)ш дороги. В рассматриваемом случае реакция Я/ представляет собой в основном силу трения сцепления между колесом и дорогой.
На потери в шине существенно влияют следующие факторы: масса деформируемых элементом шины, жесткость покрышки и давление воздуха в шине. При увеличении массы, участвующей в деформации, затраты энергии на внутреннее трение в шине возрастают. Аналогично влияет повышение жесткости покрышки. Снижение давления воздуха в шине увеличивает ее деформацию и замедляет восстановление формы, поэтому на дорогах с твердым покрытием при слишком низком давлении воздуха в шинах увеличивается сопротивление качению.
Работа колеса, эластичная шина которого равномерно движется по горизонтальной деформирующейся поверхности. В данном случае имеют место как деформации почвы, так и деформации шины. Коэффициент / сопротивления качению колеса состоит из двух компонентов, учитывающих гистерезисные потери в почве и в шине, т. е
f = fn+L,
где fn и fiu — коэффициенты, учитывающие потери соответственно на смятие почвы и на деформацию пневмошины.
Затраты мощности на деформацию почвы в общем балансе потерь на качение колеса значительно больше затрат мощности на деформацию шины. Поэтому в рассматриваемых условиях для снижения сопротивления качению необходимо уменьшить деформацию почвы, т. е. уменьшить глубину следа, образуемого катящимися колесами. Этого можно достигнуть увеличением площади контакта шины с ее опорной поверхностью, для чего следует соответственно снизить давление воздуха в шине. Несмотря на то что с уменьшением давления воздуха возрастают потери в шине, суммарные потери на качение колеса при этом будут меньше. В связи с этим на тракторах применяют шины низкого давления.
Таким образом, давление воздуха в шинах влияет на сопротивление качению в зависимости от дорожно-полевых условий. Чтобы во всех случаях движения суммарные потери на деформации почвы и шины были минимальными, следовало бы изменять давление воздуха в шинах. С этой целью на автомобилях высокой проходимости устанавливают устройства для регулирования давления воздуха в шинах на ходу применительно к дорожным условиям.
Однако при выборе давления воздуха в шине приходится учитывать не только сопротивление качению, но и другие факторы. Например, повышение давления воздуха может быть ограничено в целях сохранения упругих качеств шин; в шинах направляющих колес тракторов давление воздуха несколько выше, чем в шинах ведущих колес, для повышения их устойчивости против бокового увода.
В некоторых случаях снижение давления воздуха ограничивается допустимым значением нормальной деформации шины, поскольку отношение указанной деформации к высоте профиля шины (относительная деформация) определяет ее срок службы. Чем ниже применяемое давление воздуха, тем больше при прочих равных условиях радиальные деформации шины и меньше допускаемая для нее грузоподъемность. Иногда снижение давления ограничивается из-за возможного проворачивания шины на ободе при передаче больших окружных усилий.
В эксплуатационных условиях значение силы Pf сопротивления качению ведомого пневмоколеса зависит также от момента трения Мг в подшипниках оси, сопротивления воздуха, инерционных нагрузок и определяется с учетом полученных выражений по формуле
Pf = <?пСп/Гд+Шг/гд ± /яД^/Л,
где ап — смещение точки А приложения реакции дороги (почвы) из-за гнете-резисных потерь в почве и пневмошине, раздавливания микронеровностей почвы, электрических и гидродинамических потерь; k — коэффициент, учитывающий потери на преодоление сопротивления воздуха при качении колеса; т„ — масса ведомого колеса.
Для учета и определения потерь всех видов в процессе опытов необходимо с помощью приборов оценить толкающую силу F„ = Pf и нормальную нагрузку Qn, а затем определить коэффициент сопротивления качению f=Pj/Qn-